依靠數(shù)學(xué)模型和仿真，工程師可以對連續(xù)性的過程控制系統(tǒng)進(jìn)行模擬測試，并根據(jù)測試推算系統(tǒng)以后的運(yùn)行情況。
可塑模型和陶土模型展現(xiàn)的是對象的外形特征，和這種模型不同，過程模型則反映受控系統(tǒng)的操作過程以及對外界干擾的響應(yīng)情況。通常，過程模型都可以用數(shù)學(xué)方程來確定系統(tǒng)輸入量和輸出量之間的關(guān)系。
圖1：通過這個簡單的模型，可以推算出，當(dāng)水以每分鐘F立方米的速率填充一個底半徑為R米的圓柱體水箱，t 分鐘后水面高度L（單位：米） 是多少。
模型可以有效地幫助我們分析PID回路，也可以為過程控制系統(tǒng)的設(shè)計提供參照。舉個例子來說，如圖1所示，是給一個圓柱形水箱充水的過程。假設(shè)水流入的速率是F，在t分鐘后，水箱里的水面高度為：
[1]
其中，R是水箱底部圓的半徑。這樣一個模型可以用來推算，若要裝滿整個水箱，控制器需要運(yùn)行多長時間。
模型的要素
過程模型越復(fù)雜，包括的變量就越多，他們之間的數(shù)學(xué)關(guān)系也更加復(fù)雜，但不管系統(tǒng)多復(fù)雜，凡是連續(xù)過程的模型都包括以下四個基本要素：
■輸入變量;
■輸出變量;
■常數(shù)項(xiàng)
■算法
輸出是在開發(fā)模型時，通過輸入量的值分析得出的預(yù)期值。在填充水箱的例子中，輸出量L就可以由輸入量t和F的值推算出來。
常數(shù)R的值取決于水箱的大小。一般情況下，常數(shù)是反映各基礎(chǔ)科學(xué)的基本原理的常量，如物理學(xué)、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、幾何學(xué)等，它決定著過程的基本性能，而且這些常數(shù)是恒定不變的，不會因輸入輸出值隨時間的變化而變化。
算法包括多種數(shù)學(xué)運(yùn)算方法，主要是用來根據(jù)輸入和常量值推算輸出值。簡單的像乘法和乘方，如方程[1]所示；復(fù)雜的如拉普拉斯變換和統(tǒng)計分配定律。
控制模型
過程模型可以為設(shè)計、執(zhí)行、反饋控制測試提供有效的幫助。大多數(shù)解析法需要一個含增益和時間常數(shù)在內(nèi)的模型，通過監(jiān)測系統(tǒng)的反饋和響應(yīng)速度，來判斷該控制系統(tǒng)的控制性能。當(dāng)對模型參數(shù)有一定了解后，工程師可以給過慢的進(jìn)程增加一個響應(yīng)較快的控制器，或是給過快的進(jìn)程增加一個較慢的控制器，以達(dá)到預(yù)期的效果。
同樣，模擬預(yù)測控制器可以用數(shù)學(xué)模型來測定控制系統(tǒng)的性能，以判斷受控變量是否精確的達(dá)到了控制要求。在運(yùn)行過程中通過比較得出的反饋，可以進(jìn)行自我調(diào)整。
即使某控制方案是基于某特殊應(yīng)用而開發(fā)的，在進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用之前，也可以利用過程模型在虛擬環(huán)境下對該控制方案進(jìn)行測試。模型的控制方程可以直接編程寫入，也可以幾種常用仿真語言中的任意一種或者自定義碼寫入專用的調(diào)試機(jī)中。在計算機(jī)上進(jìn)行仿真，可以更快的發(fā)現(xiàn)該控制方案中的不足，也不用擔(dān)心會對真實(shí)的工程造成任何損失。
模型開發(fā)實(shí)例
不管用途是什么，建立模型的訣竅就是把系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)用一系列的控制方程表示出來，如方程[1]所示。以"倒置的單擺模型"為例，如圖所示，在地面上固定一個彈簧，彈簧頂端固定安放一個重物。水平方向的力使該物體在一個弧形范圍內(nèi)來回擺動。
這個模型的運(yùn)行狀態(tài)經(jīng)過變形可以被應(yīng)用于多個仿真研究。可以把它看成一個兒童玩具，也可以把它看成某高層建筑物在風(fēng)中搖晃的縮影。加上一個接頭，也可以近似看成是人在邁腿大步行走時腿部的動作。
無論是哪種情況，基本原理都是相同的。彈簧對物體的彈力和物體自身的重力是相對的。如果將物體和彈簧合起來，看成是一個質(zhì)心離地面H米，質(zhì)量為m千克的聯(lián)合裝置，整個裝置的運(yùn)動狀態(tài)就可以用含有弧度q的方程式表示，如圖所示。
實(shí)際應(yīng)用檢測
正如這個裝置的簡化過程一樣，這個模型是逼近現(xiàn)實(shí)的模擬。假定不存在任何外力影響物體的運(yùn)動，如摩擦力等，而彈簧對物體的彈力也與角坐標(biāo)θ完全成比例。另外還要假定，該運(yùn)動過程是從一個絕對垂直位置開始的（即θ的初始值為零）。
由于當(dāng)θ無窮小時，q和sin(θ)的值近似相等。用q替換sin(θ)方程式[2]可以簡化成方程式[3]，根據(jù)式[3]畫出關(guān)于θ的趨勢圖，得到一條斜率為-（k- mg）/mh的直線，因此式[3]為關(guān)于θ的線性方程。
倒置單擺模型
[2]
簡化后的倒置單擺模型
[3]
對簡化模型方程求解
[4]
由上式解得
[5]
[6]
角速度變量的θ”是角速度θ的二次導(dǎo)數(shù)，t為該物體從初始位置到現(xiàn)在的運(yùn)動時間，θ'0是物體在外力作用下的初始角速度，A是物體擺動的振幅，ω為振動的頻率。A和ω是兩個值取決于k，m，g，h和θ'的常量，如等式[5]和等式[6]所示。
方程式[3]真正的價值在于，通過它可以得到一個θ關(guān)于時間的趨勢圖，根據(jù)趨勢圖，我們可以預(yù)測該過程以后的運(yùn)行狀態(tài)。這個碰巧是一個只用方程式[3]這種線性方程就可以解決的問題。實(shí)際上，對方程式[3]進(jìn)行求解，我們也可以得到關(guān)于θ（t）的表達(dá)式，如方程式[4]所顯示。
點(diǎn)位置。彈簧裝置在水平外力的作用下，從一個絕對垂直位置開始做弧形運(yùn)動。該裝置的重力mg.sin(θ)和彈簧產(chǎn)生的彈力K下相對且互相平衡。其中常數(shù)g和k分別代表重力加速度和彈簧彈力系數(shù)。 相比之下，含有正弦函數(shù)的非線性方程，像方程[2]，對這種類似閉環(huán)系統(tǒng)的方程求解就相對復(fù)雜一些。很多時候，為了簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算，工程師往往花更多的時間和精力去建立一個線性模型而不是非線性的。
局限性
不過，簡化后的方程式[3]在精確的控制輸出變量θ(t)上，并不是特別的有效。因?yàn)楹蛯?shí)際操作過程不同，它所包含的輸入變量不是一個可改變的量，而實(shí)際過程中，操作人員可能會賦予物體新的位移或新的速度。
即使對這個過程以及模型加以修一定的局限性。因?yàn)�，只有在產(chǎn)生的擺動幅度小到足以使θ近似地和sin(θ)相等時，簡化得出的方程式[3]才有效。否則，系統(tǒng)的的真實(shí)運(yùn)行狀態(tài)應(yīng)該按照方程式[2]進(jìn)行計算。
實(shí)際運(yùn)行中，運(yùn)行狀態(tài)通常會因輸入和輸出的改變而變化，例如，當(dāng)變量從極低值升高到極高值，再從極高值慢慢回落的過程中，大多數(shù)運(yùn)行狀態(tài)會因此而改變。在水箱填充這個實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)液位填充到箱體凸出不平的位置，這個模型也將失效。所
以，過程模型中必須考慮到這些可能出現(xiàn)的變動，否則，依靠這些未經(jīng)改善的模型進(jìn)行操作，不可能達(dá)到預(yù)期的控制效果。
另外，在倒置單擺模型中，如果初始條件沒有被準(zhǔn)確的記錄下來，方程[3]也不可能準(zhǔn)確描述該裝置的實(shí)際運(yùn)動狀態(tài)。在這個模型里，唯一的初始條件就是θ'0，它反映了物體在在初始時間t=0時，受到外力作用產(chǎn)生的初始角速度。式[6]可以看出θ'的值對物體擺動的振幅的影響。受到外力所產(chǎn)生的初始角速度θ'0越大，則物體每一次擺動的振幅A就會越大。
盡管如此，如果θ'的測量值有誤差，那么根據(jù)該模型所計算出的振幅也將和物體的實(shí)際狀況出現(xiàn)偏差。同樣，如果物體不是嚴(yán)格的從絕對垂直位置（即θ(0)=0的位置）出發(fā)，對模型的行為預(yù)測也將出現(xiàn)偏差。在應(yīng)用過程中，為了讓實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)和通過模型測試推算出的狀態(tài)完全符合，控制工程師通常將系統(tǒng)的所有初始條件設(shè)置為零，以避免因初始條件的偏差而造成結(jié)論推算的誤差。
仿真結(jié)果
不過，當(dāng)這些限制條件可以被確認(rèn)并被削弱到極小的時候，就可以離用過程模型對實(shí)際狀況進(jìn)行相當(dāng)準(zhǔn)確的仿真。在已知過程的運(yùn)行狀況的前提下，工程師會將模型放入到各種可能出現(xiàn)的環(huán)境中，進(jìn)行有代表性的一系列測試，以保證系統(tǒng)精度。
例如，當(dāng)風(fēng)突然變大，大廈將會搖晃的更加厲害。對倒置的單擺模型加以修改，增加初始擾動（θ’0），即增加初始的角速度，也可以模擬出一個類似的測試環(huán)境。式[6]可以看出，振幅A和初始速度θ’0成正比，當(dāng)初始速度增加，振幅也將相應(yīng)的增加，正如實(shí)際情況中大廈的情況一樣。
仿真最大的優(yōu)點(diǎn)在于，可以在實(shí)際操作從沒嘗試過的環(huán)境中進(jìn)行測試。特別是，在仿真過程中，可能發(fā)現(xiàn)一些沒考慮到意外狀況，可能是在實(shí)際應(yīng)用中必須避免的危險情況；也可能是當(dāng)前系統(tǒng)還需要改進(jìn)的漏洞。當(dāng)基于一個有效的模型進(jìn)行仿真時，工程師就可以從反復(fù)的試驗(yàn)和誤差調(diào)試中，完善并整合系統(tǒng)運(yùn)行必須的各種條件（如溫度、壓力、流速等），大大的降低生產(chǎn)成本。 |
